《部落战争》数学帝告诉你MM可以杀死一只龙

    【前言】
    大家好，这次给大家带来的题目是“多少弓箭手可以杀死一只龙？”。
    首先说明一点，作者并非标题党，这个题目自己也是琢磨了许久。我的上一篇技术贴被热心网友转载到多玩COC论坛并推荐至首页，给了我很大的鼓励，同时也引发了我的一些思考：后面究竟写点什么比较好呢？
    几经踌躇，最后还是决定写一篇面向大众的，具有一定使用度和参考价值的命题。

    【引子】为什么要选择这个题目？
    众所周知，在7月3日更新之后，双王防御机制的修改再一次把攻防领域的话题推向了风口浪尖，引发了爆炸性的吐槽与争论；相应的，在部落对战领域，传统的进攻流派也受到了冲击：纯野猪流受到了极大的限制、龙流的应用倍加推崇以及气球野猪等混合流派的研发等等。
    但是！有一点非常重要：除去纯龙流，其他任何一个流派，勾杀部落城堡的防守援军仍然是进攻时必须完成的第一步。
    在高本的部落对战中，现在主流的配置依然是（少量法师+大量弓箭）的填充模式；但是在以6-8本为中坚力量的部落中，使用龙作为防守援军还是比较常见的。相信到了9本以上的玩家，对于如何击杀弓法混合援军都会有一定的心得，技术也相对成 熟；同时我本人目前也只能算个新手，就不在这里班门弄斧了。
    因此，本文面向的读者主要是：发展中部落的、以6-8本为主体构成的初中阶COC玩家。
    下面进入本文正文部分。（如果大量篇幅给您造成阅读困难，请直接移步至第三部分查看最终结论）

    【一】模型的建立
    首先描述一下这个模型的建立环境：
    1、本文不包含如何引出援军龙以及控制其的走位等等前置工作，只单纯讨论击杀过程；
    2、考虑到混合兵种计算的复杂性，进攻兵种选择为单纯的弓箭手，进攻对象为龙；
    3、由于龙的攻击为范围0.3的溅射AOE，此时考虑弓箭手的布局为理想状态（扇形或圆形包围，且彼此间隔>溅射半径，也就是说龙一次攻击只能杀死一个弓箭手）；
    4、不考虑手速，假设弓箭手为一次性全部投放完毕。
    5、所有攻防兵种在第一时间（t=0）的时候都未进行攻击，而是进入攻击准备期（攻击前摇）；
    6、不考虑战场周围建筑对于进攻兵力的目标影响，即所有弓箭手能第一时间锁定龙进行攻击（实战中这一点并不难做到，只要将龙引到空旷的地方例如角落即可）
    以上多点假设都是完美状态，与实际操作略有出入，请勿着急。得出结论后，在第四大点补充说明的部分会对依照实际操作环境进行一定的修正。

    【二】推导
    为了便于读者方便参看初始数据，在这里先引用两个数据表格


    ★随机选择3级飞龙和3级弓箭手作为第一次推导的对象。
    ★推导目标是以最少的代价杀死这条飞龙。换句话说，杀死这条龙最少需要多少弓箭手。
    也许有人会问，这有什么意义？我放个二三十个弓箭手，再不行三四十个肯定能杀死一条啊！？
    话虽如此，但是部落对战的胜负往往就在于毫厘细节之间，这也是这个游戏的魅力所在。考虑到更多的细节，意味着你比别人多了一个赢取胜利的筹码。
    因为有的时候，我们主力进攻方向被大量AOE火力覆盖，弓箭手无法铺开，并不适合清理一条防守的龙。此时我们有两种选择：

    第一，强行在该位置击杀援军。可以想象，稍有不慎就会被迫击炮砸死或者被箭塔射死位置不好的弓箭手，同时也增加了龙溅射攻击的可能性，增加了无谓的兵力消耗；

    第二，另外方向选择一个角落清理援军，而后大部队照原路线进攻。
    一般情况下，我们多数人会选择后者，那么这个模型的意义就体现出来了。因为这些杀龙的弓箭手并不是跟在主力部队肉盾后面，如果投放过多，击杀完龙之后在没有肉盾的掩护下，很快会被防御塔或者陷阱清理掉，这又是一种资源量费，结果和第一种选择如出一辙。

    如果你知道大概需要多少个弓手可以解决当前的飞龙，那么你完全可以做到精确投放，然后你可以从容地把注意力转移到主力部队的猪、胖子、炸弹人等等，节约了大量的观察和等待杀死援军的时间。

    举例说明，见下图。

    假设用天胖攻打此阵型（假设援军只有1条龙），经过一番思考，决定A点为主力进攻方向。那么首先从A点放1个野蛮人引出龙，接下来在地点B和C都可以杀龙。如果单纯考虑时间成本，B点距离较近，可能更好；但是B点的大部分都被迫击炮的防御范围覆盖，因此很难有效铺开弓箭手，因此C点是更为理想的选择。
    如果在C点投放大量弓箭手，是可以短时间消灭飞龙，但是由于主力胖子从B点投放，那么C点击杀完龙之后，剩余兵力可以说基本浪费了。所以，我们对于投放多少援军既能准确杀死这条龙，又不至于造成兵力浪费，做到心中有数，可以说是非常必要的。
    回到数据模型，接下来我将我四次推导的过程全部写下来，其中前三次都不同程度地犯了一些错误，结果全部推翻重来。但是正是由于前三次的错误，为后续的正确论断提供了非常好的思路，所以我将全过程回顾一下。

    ▲第一次推理（错误）
    假设需要投放的弓箭数量为x，当前弓箭手数量为y，杀死龙需要的时间为t，则有如下：
    ① y=x-2/3t （龙的攻击间隔为1.5，即每1.5秒杀死一个弓箭手）
    ②12yt=2300 （12为三级弓箭手基础攻击力，2300为三级龙的生命值）
    错误分析：这是我首次列出的两个方程，并想当然地认为将①代入②，得到的二元一次方程组的坐标曲线的某个极值（或者可能是切线、导数）就是要求的x值。
    但是这个假设很快就被推翻，因为这两个方程式中的t并不是等同的概念，①中的t是一个变量，是从投放兵力开始到“现在”进行了多少秒，②中的t是一个定量，是整个杀死龙的过程需要的时间。

    ▲第二次推理（错误）
    依然审视第一次推理重的两个方程式并对其概念进行修正，得到一个新的方程：
    ① y=x-2/3ta （a=0,1,2,3……n） ta为开始攻击到杀死龙之间的任意时刻
    ② 12yt=2300
    将二式结合可得：12[（x-2/3t1）+（x-2/3t2）+（x-2/3t3）…+（x-2/3tn）]t=2300
    此时考虑是否使用：多玩数学帝：告诉你多少弓箭手可以杀死一只龙
    求0到n秒区间的定积分？
    错误分析：想象一下弓箭手与龙的互搏过程，可知不论是弓箭手还是龙，总是在特定的时间节点进行攻击，整个进攻过程是一个 攻击-准备-攻击-准备 的过程，而非连续。
    相应的，龙的生命值也仅在整数秒时扣除，并非平滑持续下降。如果使用积分计算，则等同于视作弓手每时每刻都在持续攻击，与实际情况恰恰相悖。

    ▲第三次推理（正确）
    由此我们得到了一个大致的坐标图形：

    轴（n）为时间，Y轴（x）为弓箭手的数量
    由于弓箭手是每1.5秒消失1个，因此弓箭手数量的递减是一个准线性的过程（黑色斜线），斜率为-30度。但是由于弓箭手是相对独立的单位，不存在小数的概念，因此实际弓箭手的数量是一个阶梯状（蓝色折线）。
    以弓箭手攻击间隔1秒为单位，取若干个瞬时的x值（瞬时弓手数量，图中红线表示），这些取值之和乘以弓手的基础攻击力12，应该等于龙的生命值2300。

    接下来，我们做一个相对直观的时间轴图示。由于龙的攻击间隔为1.5秒与弓箭手的1秒并不同步，因此取二者的最大公约数0.5秒为一个参照单位，并假设弓箭手数量为100。

    PS：这里我们根据经验，在龙和弓箭同时出手的时间节点（例如第3秒），考虑到飞行弹道的问题（龙的火焰实际为攻击动画，不存在飞行过程，这一点和弓箭的飞行弹道有本质区别），龙的伤害是瞬时生效的，而弓箭必须经历一个飞行过程，接触到目标才造成伤害。

    因此，此时默认弓箭先死（下同）。请不要过于纠结这个问题！（因为游戏系统也有可能判定“同时出手”，即弓箭手死的一瞬间箭已出手，这一点我们无法求证，所以不展开讨论，只取想定的情况进行讨论，3秒时默认弓箭死亡未造成伤害）。

    删除弓箭手作攻击前摇的时间节点（0.5的单数倍节点），此外由于开始建模时想定t=0的时候攻防双方都未攻击，因此第一节点也未造成伤害，删除。接下来观察时间轴末端，最后一个时间节点，由于剩下最后一个弓箭手，也是没有进行攻击的，删除。（具体参照上一段的想定）

    OK，接下来我们看看剩下来的一组数字：
    100,99,98,98,97,96,96,95……3,2,2,1
    不难发现这是由两个等差数列构成的一个符合序列。分别为
    ①100,99,98,97,96,95……3,2,1
    ②98,96,94,92,90……6,4,2
    去除常数，还原未知数x, 两个序列的公式分别为
    ①x,x-1,x-2,x-3,……3,2,1 （共x项）
    ②x-2, x-4, x-6,……4,2 （共x/2-1项）
    这些若干节点的弓箭手数量乘以12的攻击力，等于龙的生命值2300，根据等差数列求和公式，得到如下方程式：
    12[（x+1）x/2+（x-2+2）（x/2-1）/2]=2300
    》 x=（2300/9）^（1/2）=15.9861050
    向上取整，得x=16，这就是我们最终需要的数值。

    【三】结论
    为了方便查证，将1-6级弓箭对应1-4级飞龙需要的个数做成了表格图片。

    【四】补充说明及修正
    1、建模时，环境设置为所有弓箭手一次性投放到位，此为理想状态。实际操作中根据每个人手速及游戏习惯不同，可能需要数秒完成整个兵力的投放。
    若手速较快（3秒内所有兵种投放完毕）可在所有结果后+1进行修正，若手速较慢（3-6秒投放完毕）可在所有结果后+2进行修正。实际测试结果略有出入，不过影响不大。
    2、弓手位置在实际操作中很难把握0.3的空间间隔防止飞龙溅射，可以根据实时战况增加弓箭手投放数量，这一点有一个经验积累的过程，故在此不展开讨论。

    【后记】
    这篇帖子酝酿许久，也写了许久。从思路到完成，包括中间推导制图的过程，耗时超过12小时。因为数学是作者读书时最差的功课，而今离开学校也很久很久，很多公式、思维方式更是记忆模糊。因此，这篇帖子完成后依然深感不安，总是觉得哪里会有错误……如果确有不妥之处，希望大家谅解并及时给予批评指正，我将虚心接受。

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